SISTEMA DE NUMERACIÓN

Un sistema de Numeración consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.

Sistemas Numéricos

Son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, romano, etc. Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciséis respectivamente) mientras que el sistema romano no posee base y resulta más complicado su manejo tanto con números, así como en las operaciones básicas.

Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn) * A

Donde:

b = valor de la base del sistema

n = número del dígito o posición del mismo

A = dígito

Sistema de numeración Decimal; con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10,10…) que se representa escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo 10 tantas veces como decenas había en el número y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número. La multiplicación esta basada en duplicaciones sucesivas y las división era el proceso inverso.

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o arcas en forma de cuña cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo. Por ejemplo, un número compuesto por el símbolo del 2, seguido por el del 27 y terminado con el de 10, representaba 2 x 602 + 27 x 60 + 10. Este mismo principio fue ampliado a la representación de fracciones. Este sistema, denominado sexagesimal (base 60) resultaba tan útil como el sistema decimal (base 10)

Sistema Binario

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Por su simplicidad y por poseer únicamente dos dígitos diferentes, el sistema de numeración binario se usa en computación para el manejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se le asocia con cero voltios, apagado, desenergizado, inhibido (de la computadora) y el dígito 1 se asocia con +5, +12 volts, encendido, energizado (de la computadora) con el cual se forma la lógica positiva. Si la asociación es inversa, o sea el número cero se asocia con +5 volts o encendido y al número 1 se asocia con cero volts o apagado, entonces se genera la lógica negativa.

A la representación de un dígito binario se le llama bit (de la contracción binary digit) y al conjunto de 8 bits se le llama byte, así por ejemplo: 110 contiene 3 bits, 1001 contiene 4 y 1 contiene 1 bit. Como el sistema binario usa la notación posicional entonces el valor de cada dígito depende de la posición que tiene en el número, así por ejemplo el número 110101b es:

1*(20) + 0*(21) + 1*(22) + 0*(23) + 1*(24) + 1*(25) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53d

La computadora está diseñada sobre la base de numeración binaria (base 2). Por eso este caso particular merece mención aparte. Siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremos que:

Existen dos dígitos (0 o 1) en cada posición del número.

Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2n.

Por ejemplo,11012 (en base 2) quiere decir:

1*(23) + 1*(22) + 0*(21) + 1*(20) = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310

Sistema Octal

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:

2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d

El subíndice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0.

Sistema Hexadecimal

Un gran problema con el sistema binario es la verbosidad. Para representar el valor 20210 se requieren ocho dígitos binarios, la versión decimal sólo requiere de tres dígitos y por lo tanto los números se representan en forma mucho más compacta con respecto al sistema numérico binario. Desafortunadamente las computadoras trabajan en sistema binario y aunque es posible hacer la conversión entre decimal y binario, ya vimos que no es precisamente una tarea cómoda. El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, resuelve este problema (es común abreviar hexadecimal como hex. aunque hex. significa base seis y no base dieciséis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:

1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160

lo que da como resultado:

4096 + 512 + 48 + 4 = 466010

Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F.

El sistema numérico decimal

El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A

Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal.

SISTEMA DE NUMERACION ROMANO

Este sistema de numeración se compone de siete letras del alfabeto romano; las cuales también son llamadas símbolos. Cada símbolo tiene un valor específico, I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 100

Los símbolos se clasifican en:

Primarios: I, X, C, M, los cuales se pueden repetir hasta tres veces.

Secundarios: V, L, D, los cuales no pueden repetirse.

Los números se forman en base a los principios de adición, sustracción y multiplicación.

REGLAS.

1. Si a la derecha de un símbolo está otro de menor valor, se suman los dos.

2. Si el símbolo I está a la izquierda de otro de mayor valor, se le resta al de mayor valor.

3. Una raya arriba de un número romano o parte de él, multiplica su valor por mil.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Historia de las matemáticas

Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes como en la geometria, a los números como en la aritmética. Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Las matemáticas son antiguas como la propia humanidad, en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente en el uso de los dedos de las manos y esto hace evidente la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Datan en Babilonia y Egipto y estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin medición de conceptos como los axiomas.

En Grecia tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y egipcios, la innovación más importantes fue el de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones, y comenzó con Tales de milesto y Pitágoras de Samos, que enseño las importancia del estudio de los números para entender el mundo. La geometría se la atribuye a Pitágoras.

De los m+as importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abderas, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipocrates de Cos que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media lunas limitas por arcos son iguales a las de ciertos triángulos. Euclides, matemático y profesor trabajó en el museo de Alejandrías también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C. en áreas tan diversas como la geometrías de polígonos y círculo, números, del espacio, áreas y volúmenes.

En Grecia después de Tolomeo se estableció una tradición que era la de estudiar las obras de los matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza, y es por eso que se ha todos estos conocimientos se han conservado y en consecuencia aparecieron  los primero avances matemáticos en el mundo árabe.

Algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media.

Dos matemáticos árabes que han quedado guardados en nuestra cultura: Mohamed ibn Al-Khoarizmi (c.825 d.C.) y Omar Khayyam (c.1038-1123).

La principal influencia árabe podemos decir que empezó a tener su impacto en el mundo europeo sobre todo a partir del mismo siglo XII, cuando representó ese extraordinario puente entre los intelectuales europeos y la Antigüedad griega. En muchas ocasiones, las primeras versiones que recibieron los europeos de los textos clásicos de la Antigüedad (tanto en matemáticas, medicina, química y otras áreas del conocimiento y las técnicas) fueron textos y obras traducidos por los islámicos al arábigo.

El Renacimiento significó un reencuentro con la cultura clásica antigua. Ocurrieron acontecimientos importantes, como fue el Discurso del método de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba como utilizar el álgebra. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación por Gerard Desargues de su descubrimiento de la geometría proyectiva y fue alabado por Descartes.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVI fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pasca y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos este trabajo no fue publicado pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados. Tanto Bernoulli como el francés Abraham de Moivre en su doctrina del azar de 1718 utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

Sin embargo el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventrua Cavalieri y unos ocho años más tarde el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlos. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

El más grande de los matemáticos del siglo XVIII fue, sin duda, el suizo Leonhard Euler y el más prolífico de todas las épocas: 886 libros y artículos, sobre cada uno de los campos de las matemáticas de su época. El trabajo de este gran matemático permite apreciar la diversidad de los usos matemáticos y aplicaciones que podía tener el Cálculo: ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. En la física, Euler usó la mecánica analítica, calculó la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. Estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz (y no corpuscular y analizó el calor como oscilación molecular). Euler describió con ecuaciones diferenciales, el movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo a la circulación sanguínea.

Según el parecer de algunos historiadores: Euler hizo por el Cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que Euclides hicieron por la Geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de Al-Khoarizmi y de Cardano.

En 1821 un matemático francés Augustin Louis Cauchy consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy  basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto no fue él sino el matemático alemán Julius W.R. Dedekind quien encontró un definición adecuada para los números reales a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantos y Karl T. W.  Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un melle. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.

Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron acabo importantes avances en esta materia.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca, teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sida resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al  mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

NÚMEROS ENTEROS

Números Enteros. 

Es el conjunto de números formado por los naturales, más los naturales con signo negativo, más el cero. La letra que lo representa es la Z.

Es una idea muy extendida la que supone que el concepto de número está estrechamente unido al de tiempo, dependiendo ambos de una impresión que despierta en nosotros la sucesión de fenómenos que se verifican a nuestro alrededor y en nosotros mismos.

Otros, en cambio, opinan que el número tiene más que ver con el concepto de espacio, reduciendo el concepto de número a la simultánea contemplación de diferentes objetos considerados en su conjunto. Por último, hay quienes ven en las representaciones de los números la expresión de una especial aptitud del espíritu, la cual es independiente de toda intuición de espacio y tiempo; un representante de esta interpretación es Minkowski (1864-1909).

La historia de los números negativos muestra que los antiguos griegos. No tuvieron noción de ellos; de modo que, en este punto, no se les puede asignar el primer lugar, como muchos hacen. Por el contrario, puede asegurarse que sus descubridores son quienes también se deben el cero y el sistema de numeración decimal. En Europa empezaron a usarse en la época del Renacimiento, siendo su introducción muy lenta.

Los números naturales (también llamados enteros positivos) son los números de contar 1, 2, 3, 4, 5,.... El número 2 surge al agregar una unidad al número 1, el número 3 surge al añadir una unidad al número 2 y así sucesivamente. El conjunto de números naturales se designa por la letra N:

N= {1,2,3,4,5,6,...}.

Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, sus negativos (también llamados enteros negativos) y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

El número 0 no se considera un número natural. El conjunto de los números enteros no negativos será designado por N U {0}. (U=Unión).

Sean a y b dos números enteros. A partir de las operaciones suma y producto, a + b y a b (ó a·b) es fácil definir otras operaciones llamadas diferencia (también resta o sustracción) multiplicación y división.

Con los números enteros podemos:

-reconocerlos como el conjunto d los números naturales.

-como participación de tres subconjuntos disjuntos.

-representarlos como puntos de la recta numérica.

-determinarle su valor absoluto.

-definirlos como puestos y el opuesto de el.

- representarlos como segmentos dirigidos en la recta numérica.

-establecer relaciones  de acuerdo con la ley de trícotomía.

-determinar el total d e una adición  ya sea aplicando segmentos dirigidos o el algoritmo respectivo, su productos, el cociente.

-expresarlos en notación exponencial.

En el conjunto de los  números naturales, adición y la multiplicación son operaciones totalmente definidas, ya que poseen la propiedad cerrada; esto es que existe siempre un número que es su suma y uno que es su producto.

Para distinguir los números enteros negativos de los números enteros positivos, se escribirá un guión a la izquierda y hacia arriba del numeral correspondiente.

En algunas ocasiones, se coloca el signo + adelante y hacia arriba del numeral para expresar que un número entero es positivo, así cuando  pero por lo general se omite el signo

El  conjunto de los números enteros es muy importante tanto en la matemática pura como en la matemática aplicada. En cuanto a las matemáticas puras, permiten resolver ecuaciones  y en cuanto a las matemáticas aplicadas, sirven para interpretar muchos acontecimientos del mundo físico. Al mismo tiempo tales acontecimientos nos dan una idea intuitiva de estos números.

En conclusión esta que los números complejos se dividen en reales e imaginarios, donde los reales los conforman los racionales e irracionales en el cual los reales se dividen en ENTEROS y fraccionarios; los números enteros están formados por los naturales, el cero y los negativos, los cuales no fueron aceptados de manera rápida como universales hasta el siglo XVIII aunque si se usaban. Todo esto se origina de la práctica, por la necesidad, de ir evolucionando y cambiando, del hombre.

PROPIEDADES:

AEl conjunto de los números enteros es un conjunto infinito

AEl conjunto de los números enteros es un conjunto discreto, por que entre 2 números enteros cualesquiera existe un numero finito de números enteros

AElConjunto de los números enteros NO tiene primer elemento ni último elemento

AEn el conjunto de los números enteros, todo número negativo es menor que cualquier número positivo o nulo