Matemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes como en la geometria, a los números como en la aritmética. Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Las matemáticas son antiguas como la propia humanidad, en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente en el uso de los dedos de las manos y esto hace evidente la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.
Datan en Babilonia y Egipto y estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin medición de conceptos como los axiomas.
En Grecia tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y egipcios, la innovación más importantes fue el de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones, y comenzó con Tales de milesto y Pitágoras de Samos, que enseño las importancia del estudio de los números para entender el mundo. La geometría se la atribuye a Pitágoras.
De los m+as importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abderas, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipocrates de Cos que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media lunas limitas por arcos son iguales a las de ciertos triángulos. Euclides, matemático y profesor trabajó en el museo de Alejandrías también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus elementos contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV a.C. en áreas tan diversas como la geometrías de polígonos y círculo, números, del espacio, áreas y volúmenes.
En Grecia después de Tolomeo se estableció una tradición que era la de estudiar las obras de los matemáticos de siglos anteriores en los centros de enseñanza, y es por eso que se ha todos estos conocimientos se han conservado y en consecuencia aparecieron los primero avances matemáticos en el mundo árabe.
Algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Los países europeos con lenguas latinas adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran siglo de las traducciones. Los trabajos de los árabes junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media.
Dos matemáticos árabes que han quedado guardados en nuestra cultura: Mohamed ibn Al-Khoarizmi (c.825 d.C.) y Omar Khayyam (c.1038-1123).
La principal influencia árabe podemos decir que empezó a tener su impacto en el mundo europeo sobre todo a partir del mismo siglo XII, cuando representó ese extraordinario puente entre los intelectuales europeos y la Antigüedad griega. En muchas ocasiones, las primeras versiones que recibieron los europeos de los textos clásicos de la Antigüedad (tanto en matemáticas, medicina, química y otras áreas del conocimiento y las técnicas) fueron textos y obras traducidos por los islámicos al arábigo.
El Renacimiento significó un reencuentro con la cultura clásica antigua. Ocurrieron acontecimientos importantes, como fue el Discurso del método de Descartes, de su descubrimiento de la geometría analítica, que mostraba como utilizar el álgebra. El segundo acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación por Gerard Desargues de su descubrimiento de la geometría proyectiva y fue alabado por Descartes.
Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVI fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pasca y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos este trabajo no fue publicado pero llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados. Tanto Bernoulli como el francés Abraham de Moivre en su doctrina del azar de 1718 utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Sin embargo el acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventrua Cavalieri y unos ocho años más tarde el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlos. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.
El más grande de los matemáticos del siglo XVIII fue, sin duda, el suizo Leonhard Euler y el más prolífico de todas las épocas: 886 libros y artículos, sobre cada uno de los campos de las matemáticas de su época. El trabajo de este gran matemático permite apreciar la diversidad de los usos matemáticos y aplicaciones que podía tener el Cálculo: ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. En la física, Euler usó la mecánica analítica, calculó la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. Estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz (y no corpuscular y analizó el calor como oscilación molecular). Euler describió con ecuaciones diferenciales, el movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo a la circulación sanguínea.
Según el parecer de algunos historiadores: Euler hizo por el Cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que Euclides hicieron por la Geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de Al-Khoarizmi y de Cardano.
En 1821 un matemático francés Augustin Louis Cauchy consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto no fue él sino el matemático alemán Julius W.R. Dedekind quien encontró un definición adecuada para los números reales a partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los matemáticos alemanes Georg Cantos y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo. Un problema más importante surgió al intentar describir el movimiento de vibración de un melle. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los matemáticos del siglo XIX llevaron acabo importantes avances en esta materia.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca, teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sida resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
